드무아브르의 정리

드무아브르의 정리(de Moivre’s theorem)는 다음과 같다.

[eqn: (cos`x`+`i`sin`x) ^{n} =cos`nx`+`i`sin`nx`(단,`n은``정수)]

이를 증명해 보자.

증명

1. [eqn: n>0]일 때에는 수학적 귀납법을 통해 증명할 수 있다.

[eqn: n=1]일 시, 당연히 성립된다.

[eqn: n=k]일 시, [eqn: (cos`x+i`sin`x) ^{k} =(cos`kx+i`sin`kx)] 이다.

[eqn: n=k+1]일 시,

[eqn: (cos`x+i`sin`x) ^{k+1} =(cos`x+i`sinx) ^{k} ` TIMES `(cos`x`+i`sin`x)# # =(cos`kx`+`i`sin`kx)(cos`x`+`i`sin`x)# # =cos`kx`` TIMES `cos`x`-`sin`kx` TIMES ``sinx`+`i(cos`kx` TIMES ``sin`x`+`sin`kx` TIMES `cos`x)]

이 때, 삼각함수의 덧셈 공식

[eqn: sin( alpha + beta )=sin` alpha ` TIMES `cos` beta +cos` alpha ` TIMES `sin` beta # # cos( alpha + beta )=cos` alpha ` TIMES `cos` beta -sin` alpha ` TIMES `sin` beta `을`이용하여,]

[eqn: cos`kx` TIMES `cosx-sin`kx` TIMES `sin`x`+`i(cos`kx` TIMES `sin`x`+sin`kx` TIMES `cos`x)# # =cos(kx+x)+i`sin(kx+x)# # =cos(k+1)x+i`sin(k+1)x`가`나온다.]

2. [eqn: n=0]일 때.

[eqn: (cos`x+i`sin`x) ^{0} =cos0`+`i`sin0]

좌변 같은 경우, 임의의 수의 0제곱은 1이므로 1이 된다.

우변 같은 경우, [eqn: cos0`=`1`,`sin0`=`0]이므로 [eqn: 1+i` TIMES `0=1]이 된다.

따라서 좌변과 우변의 값이 같으므로 [eqn: n=0]일 때에는 참이다.

3. [eqn: n<0]일 때.

[eqn: n=-m`(m은`양의`정수)]으로 바꿔서 표현할 시,

[eqn: (cos`x+i`sin`x) ^{-m} = {1} over {(cos`x`+`i`sin`x) ^{m}} = {1} over {cos`mx+i`sin`mx}] 가 된다.

분자, 분모에다가 [eqn: cos`mx+i`sin`mx]의 켤레 복소수인 [eqn: cos`mx`-`i`sin`mx]를 곱할 시,

[eqn: {1} over {cos`mx+i`sin`mx} TIMES ` {cos`mx-i`sin`mx} over {cos`mx`-`i`sin`mx}# # = {cos`mx`-`i`sin`mx} over {(cos`mx+i`sin`mx)(cos`mx-i`sin`mx)}# # = {cos`mx-i`sin`mx} over {(cos`mx) ^{2} +(sin`mx) ^{2}}]

이 때, 삼각함수의 제곱공식 [eqn: (cos`mx) ^{2} +(sin`mx) ^{2} =1]임을 이용하여,

[eqn: {cos`mx-i`sin`mx} over {(cos`mx) ^{2} +(sin`mx) ^{2}}# # = {cos`mx-i`sin`mx} over {1}# # =cos`mx-i`sin`mx`가`나온다.]

이후 우함수와 기함수의 특징을 이용하며, 따라서

[eqn: cosmx-i`sin`mx] 에서 [eqn: cos`mx=cos(-mx)], [eqn: -i`sinmx=i`sin(-mx)]이므로,

[eqn: cos`mx-i`sin`mx=cos(-mx)+i`sin(-mx)]가 된다.

[eqn: n=-m]이므로, [eqn: -m]에 [eqn: n] 대입 시,

[eqn: cos(-mx)+i`sin(-mx)=cos`nx+i`sin`nx]

따라서 [eqn: n<0]일 때에도 참이므로, 드무아브르의 정리는 참임을 증명했다.