Definition. [eqn: f(n)]은 [eqn: n]값에 대한 문제의 답으로 정의한다.

Claim. [eqn: f(n)]은 단조증가함수이다.

pf) 자명하므로 생략

본 증명.

[eqn: f(1)`=`0,`f(2)`=`1]: 자명.

[eqn: f(3)]: By Claim, [eqn: f(3) GEQ 1]. 정삼각형이라는 실례가 있으므로 [eqn: f(3)=1]

[eqn: f(4)]: (귀류법) [eqn: f(4)]가 2보다 작다고 가정하자. [eqn: f(4)]는 1이다.

즉 모든 점들 사이의 거리가 같아야 한다.

이 네 점을 [eqn: A, B, C, D]라 하면, [eqn: bar{AB}=bar{BC}=bar{CA}=bar{BD}=bar{DA}]이므로, [eqn: TRIANGLE ABC, TRIANGLE ABD]는 정삼각형이다. [eqn: C NEQ D]이므로, [eqn: bar { CD} = sqrt{3} bar{AB}]인 경우밖에 없고, [eqn: f(4) GEQ 2]이므로 모순. 따라서 [eqn: f(4)]는 2 이상이다. 이때 [eqn: f(4)]가 2인 실례가 존재(실례는 다양합니다.)하므로, [eqn: f(4)]는 2이다. 이 사실과 Claim으로부터 [eqn: f(5)=2]임도 자명하다.

[eqn: f(6)]: (귀류법) [eqn: f(6)]가 3보다 작다고 가정하자. [eqn: f(5)=2]이므로, By Claim, [eqn: f(6)]도 2이다.

여섯 점을 각각 [eqn: A, B, C, D, E, F]라고 하자. 비둘기집 원리에 의해, [eqn: A]와 거리가 서로 같은 점이 3개 이상 있다. 일반성을 잃지 않고, 이 거리를 1로 정의하고, [eqn: A]에서 1 떨어진 세 점을 [eqn: B, C, D]라 하자.

이때, 아래와 같은 네 가지 경우가 생긴다. 이제 아래 네 가지 경우에 대해 E에서의 거리가 다른 두 점을 고른 뒤, 각각의 거리를 반지름으로 하는 원을 그려 두 원의 교점을 찾고, 그 교점들 중 E로 가능한 것이 있는지 찾는 작업을 시행한다.

1)

이러한 경우 E는 B, D와 서로 다른 거리에 위치해야 한다. 이러한 점은 네 개가 있는데, 이 점과 A의 거리가 지금까지 나오지 않은 새로운 길이임을 쉽게 확인할 수 있다. 따라서 모순.

2)

이러한 경우도 마찬가지 이유로 E는 B와 C와 다른 거리만큼 떨어져 있어야 하고, 이 경우 DE 또는 AE의 길이가 새로운 길이가 되기 때문에 불가능하다. 따라서 모순.

3)

BE와 CE가 다르므로 이러한 경우 역시 AE의 길이가 새로운 길이가 나오며 불가능하고, 즉 모순이다.

4)

세 점이 일직선 위에 있을 수 없으므로 AE, BE, CE가 모두 다르고, 이는 세 길이 중 AB나 AD의 길이가 아는 것이 있다는 뜻이므로 불가능. 따라서 모순이다.

앞서 살펴본 모든 경우에 대해 [eqn: f(6)=2]임은 모순임을 알 수 있다. 따라서 [eqn: f(6)GEQ 3]이고, 정육각형이나, 정오각형과 중심점 등의 실례가 있으므로 [eqn: f(6)=3]이다. ■

p.s. 이로부터 [eqn: f(7)=3]임도 바로 알 수 있습니다. [eqn: f(8)]이 4인지 아닌지가 중요할 것 같습니다.