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[방승진 교수의 수학 퍼즐] 방1. 역삼각형 숫자 퍼즐
수학동아 2018.07.31 16:10

주니어 폴리매스를 시작하면서 아주대 수학과 방승진 교수님은 다음과 같은 조언을 해주셨습니다. 앞으로 교수님의 의견에 따라 문제를 풀어 보세요!

요즘 수학 문제는 일회용 물수건처럼 쓰고 버리는 것이라는 인상을 지울 수 없습니다. 학생들은 셀 수 없을 정도로 많은 수학 문제를 풀고 또 풀지만 수학 실력은 늘어나지 않습니다. 왜 일까요? 머리가 나빠서 일까요? 연구에 따르면 학생들은 누구나 잠재력이 있다고 합니다. 수학도 마찬가지 아닐까요?

제 경험에 의하면 수학 문제를 마치 껌 씹듯이 생각에 생각을 거듭하면 다양한 생각을 하게 되고 어느 덧 그 수학 문제는 영원히 잊지 않을 정도로 친숙하게 됩니다. 좀 더 정확하게 "어떤 문제를 푸는가도 중요하지만 문제를 어떻게 푸는가?" 가 더 중요합니다. 결국 문제를 풀고 난 뒤에 '어떤 창의적인 산출물을 만들었는가?' 가 중요합니다.

앞으로 게재하는 문제들은 주로 다양하게 생각하도록 유도하는 문제 즉, 개방형 문제(open-ended problem)로서 여러분들이 좀 더 창의적인 태도를 가질 수 있도록 안내할 겁니다.

모든 문제는 주어진 질문에 국한하지 말고 될 수 있는 한 일반화 시키고, 남들과는 다르게 생각하려고 노력해야 좋습니다. 수학 논문을 쓰면 더욱 좋습니다.

 

문제 <그림 2>에서 원이 의 모양으로 놓인 곳은 어디나 A와 B의 차가 C가 된다. 또 6개의 ○안에는 1에서 6까지의 정수가 모두 한 번씩 들어가 있다. 이 규칙에 따라 <그림2>처럼 맨 아래 ○안에 숫자가 3일 때, 10개의 ○안에 1에서 10까지의 정수를 한 번씩만 사용해서 채워라.

이런 경우를 4가지 찾고, 3 대신 다른 수를 써도 되는지도 조사하여라. .

  •  
    쓰다만연습장 Lv.1 2018.08.01 01:06

    1-1은 많이 도전을 해보았으나 안되서 일단 패스....

    1-2를 보면 일단 10은 1~9 중에서 그 어느 수의 차로도 나타낼 수 없으니 불가능하고,

    9는 10 - 1의 경우만 가능한데, 이 역시 10을 그 어느 수의 차로 나타낼 수 없으니 불가능하고,

    8은 10 - 2와 9 - 1의 경우만 가능합니다. 그러나 10 - 2는 위의 이유와 같은 이유로 불가능하고, 9 - 1의 경우는 9가 10 - 1의 경우로만 가능한데 1을 이미 써버렸기 때문에 불가능하고,

    7은 10 - 3, 9 - 2, 8 - 1의 경우만 가능합니다. 그러나 10 - 3은 불가능하고, 9 - 2는 위의 이유과 같은 이유로 불가능하고.........

     

    요롷게 해보면 4에서 가능한 거 같은데.......(위에서부터 8, 10, 3, 9, 2, 7, 6, 5, 1, 4)

    저도 헷갈리니깐 제가 미쳐 못 봤거나 잘못된 부분은 지적해주세요!!

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    •  
      수학짱 Lv.1 2018.08.01 11:33

      이어서 계속 해보면 6에서는 7  1, 8  2, 9  3이 가능한데(10 은 어차피 안돼니까 빼겠습니다.) 7은 또 8  1. 9 2 인데 1은 이미 써서 안돼고 9 2에서 9는 10  1이지만 10을 써서 안됍니다.

      그리고 5인 경우는 6  1,7 2,8  3,9  4입니다.                              6은 7 1, 8  2, 9  3인데 1은 써서 안돼고,8도 9  1인데 불가능하고 9는 10  1이므로 불가능합니다.      

      4인 경우는 코딩의 달인님께서 말씀해주신 것처럼 되고,3인 경우도 있습니다.

      밑이 2인 경우에는 9  7, 8  6, 7  5,6  4,5  3,3  1이  있는데 9,8은 위 경우처럼 불가능합니다.더 계산을 해야겠네요!                            

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    •  
      오지랖 Lv.1 2019.01.27 22:25

      10이 맨 위에 있으면요?

       

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  •  
    21세기오일러 Lv.1 2018.08.01 09:58

    주니어폴리매스는 나이제한이 있나요?

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    •  
      조가현 Lv.4 2018.08.01 10:31

      나이 제한은 없습니다. 다만 실력이 너무 뛰어난 분이 와서 단번에 답을 내면 서로 의견을 나누며 문제를 풀 수가 없기 때문에 답을 바로 아실 경우 비밀댓글로 달아주세요. 그리고 다른 참여자분들에게 코멘트를 해주시면 좋을 것 같습니다. ^^* 앞으로 많은 관심 부탁드립니다.

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  •  
    구머 Lv.1 2018.08.01 10:03

    이거 이번 imo문제 이닌가 ㅋㅋ

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    •  
      21세기오일러 Lv.1 2018.08.01 10:42

      역파스칼삼각형 뒤집으면 답나오네요.

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  •  
    21세기오일러 Lv.1 2018.08.01 10:46

    이런경우를 4가지 찾으란 것은 밑이 3일때 4가지 찾는 것인가요?

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  •  
    수학짱 Lv.1 2018.08.01 11:02

    일단 1-1에서 두가지 만 찾으면 뒤집어서 네가지로 만들 수 있을것 같네요

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    •  
      수학짱 Lv.1 2018.08.01 11:05

      그리고 3이 아래 꼭짓점인 경우는 위에서부터 

      6  10  1  8  4  9  7  5  2  3,    8  1  10  6  7  9  4  2  5  3(첫번째 뒤집은 것)이 있네요

       

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    •  
      수학짱 Lv.1 2018.08.01 11:11

      그리고 마지막 두개는 위에서 부터

      8  10  1  6  2  9  5  7  4  3와  6  1  10  8  5  9  2  4  7  3(첫번째 뒤집은것)이 있네요!

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    •  
      math Lv.1 2018.08.01 11:16

      6 10 9 2

        4 1 7

         5 8

          3

       

      4 10 9 2

        6 1 7

         5 8

          3

      이런 구조들도 있네요.

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    •  
      수학짱 Lv.1 2018.08.01 11:42

      그런데 math님의 댓글에서 7-1=8이라는 것이 잘못되지 않았나요?

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    •  
      math Lv.1 2018.08.01 11:58

      그렇네요 ㅠㅠ

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  •  
    수학짱 Lv.1 2018.08.01 11:19

    뒤집어서 똑같아지는 경우는 1개로 보나요?

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  •  
    21세기오일러 Lv.1 2018.08.01 13:01

    밑이 4이면

    8 3 10 9

      5 7 1

        2 6

          4

    가뇌네요.

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  •  
    쓰다만연습장 Lv.1 2018.08.01 22:42

    그럼 맨 아래가 1인것도 한 번 봅시돱!

    그리고 교수님이 말씀하시길 문제를 일반화 하는 것도 좋은 방법이라고 하시니

    일반화에 대해서도 같이 고민해 봅시다.

    저도 조금(진짜 조금) 고민해 봤는데, 맨 아래가 n이라고 하면,

    그 위에에 올 수 있는 경우의 수는 9 - n(어차피 10이 오면 안되니까 미리 하나 빼놓을께요)인데, 그 위에꺼는 제 머리에 한계가 왔네요..

    그리고 제 생각에는 맨 아랫줄부터 세 번쨰 줄까지 6개로 이루어진 역삼각형 있잖아요 거기에 1, 2, 3이 다 들어가면 삼각형 만들기가 불가능 한 거 같은데..

    혹시 제가 틀린 부분이나 잘못된 부분이 있다면 꼭! 알려주세요!

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  •  
    쓰다만연습장 Lv.1 2018.08.01 22:49

    그럼 한번 지금까지 한 것 좀 정리해 봅시다.

    1 - 1은

     8 10 1 6   6 1 10 8   6 10 1 8   8 1 10 6

       2 9 5       5 9 2       4 9 7       7 9 4

        7 4          4 7         5 2          2 5

         3             3           3             3

    요롷게 해서 된 것 같구요

    1 - 2를 보면

    10, 9, 8, 7, 6, 5는 불가능하다는 것에 증명됬고, 4, 3, 2 는 가능합니다. 그러나 1은 아직까지 증명이 되지 않았습니다!

    우리모두 힘내서 이거 끝내고 정사각형 채우기로 갑시다!!!

     

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    •  
      math Lv.1 2018.08.01 23:42

      1 수작업으로 해보니까 안되는 거 같은데요?

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  •  
    쓰다만연습장 Lv.1 2018.08.02 10:51

    그..럼  다 푼건가요?

     

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    •  
      쓰다만연습장 Lv.1 2018.08.02 10:52

      1 - 1은

       8 10 1 6   6 1 10 8   6 10 1 8   8 1 10 6

         2 9 5       5 9 2       4 9 7       7 9 4

          7 4          4 7         5 2          2 5

           3             3           3             3

      요롷게 해서 된 것 같구요

      1 - 2를 보면

      10, 9, 8, 7, 6, 5, 1는 불가능하다는 것에 증명됬고, 4, 3, 2 는 가능합니다. 요게 답인가요?

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    •  
      math Lv.1 2018.08.02 11:39

      그런데 뭔가 찝찝하네요... 각 숫자들을 문자들로 바꿔서 왜 안되고, 왜 되는지도 증명을 해야하지 않을까요?

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    •  
      21세기오일러 Lv.1 2018.08.02 14:02

      밑이2도 불가능하지않나요?

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    •  
      수학짱 Lv.1 2018.08.02 14:39

      제가 계산한 결과  1,2  는 불가능하다는 결론이 나오네요.

      그럼  9.8.7.6.5.2.1은 불가능하고  3.4는 되는 것  같네요!

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  •  
    21세기오일러 Lv.1 2018.08.02 14:03

    3대신은 4밖에안됩니다.

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  •  
    쓰다만연습장 Lv.1 2018.08.03 11:02

    근데... 왜 정사각형 채우기랑 다르게 주니어 맨토님의 맨토링이 없는거쥐??

     

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    •  
      조가현 Lv.4 2018.08.03 11:20

      KAIST 문제 주니어 멘토님은 KAIST 과학영재연구원 소속 분이세요. 그래서 그 문제만 의견을 주시는 거랍니다. 방승진 교수님의 문제는 현재 멘토가 따로 있는 건 아니라서 어느 정도 풀이가 모이면 교수님께 의견을 직접 받을 계획입니다.

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  •  
    냐뇨기 Lv.1 2018.08.11 21:12

    매~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~우 여럽다!!!!

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  •  
    임소정 Lv.1 2018.08.13 16:45

    저는 초등학교 2학년 입니다.

    처음 이 사이트에 들어와서 수학퍼즐을 해 보았는데 너무 재미있었답니다.

    제가 해 본 정답은

    6 10 1 8

     4 9 7

       5 2

         3

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  •  
    쓰다만연습장 Lv.1 2018.08.14 21:28

    자 정사각형 채우기는 끝났으니깐 우리 이거래도 열심히 해봅시다! (할게 이거밖에 없음..)

    근데 여기 왜 이렇게 썰렁한걸까요?

     

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    •  
      킬러퀸 Lv.4 2018.08.15 07:43

      모두 더위에 지쳐 문제 풀 기운이 없는 걸까요!?crying

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  •  
    Euler Lv.1 2018.08.16 21:18

    잠만 나 아주대학교 영재원하는데 이 교수님이 영재원 원장인데... 이건 무슨 우연이지?

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    •  
      Taxi1729 Lv.1 2018.08.28 17:13

      저두요 ㅋㅋ

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  •  
    muse Lv.1 2018.08.19 12:59

    1-1. 아래와 같은 4가지 경우입니다.

    8 10 1 6 
    2 9 5 
    7 4 
    3 
    
    6 1 10 8 
    5 9 2 
    4 7 
    3 
    
    6 10 1 8 
    4 9 7 
    5 2 
    3 
    
    8 1 10 6 
    7 9 4 
    2 5 
    3 

     

    1-2. 4를 사용하면 4가지가 가능합니다.

    8 3 10 9 
    5 7 1 
    2 6 
    4 

     

    8 10 3 9 
    2 7 6 
    5 1 
    4 
    
    9 3 10 8 
    6 7 2 
    1 5 
    4 
    
    9 10 3 8 
    1 7 5 
    6 2 
    4 

     

    프로그램을 이용해 확인해본 결과 더 이상의 방법은 없었습니다.

     

     

    소스 코드

    #include <bits/stdc++.h>
    
    int board[10][10];
    bool chk[20];
    
    int main(){
        for(int i=1; i<=10; i++){
            for(int j=1; j<=10; j++){
                if(i==j) continue;
                for(int k=1; k<=10; k++){
                    if(i==k||j==k) continue;
                    for(int l=1; l<=10; l++){
                        if(i==l||j==l||k==l) continue;
                        board[1][1] = i;
                        board[1][2] = j;
                        board[1][3] = k;
                        board[1][4] = l;
                        chk[i] = chk[j] = chk[k] = chk[l] = 1;
                        for(int ii=2; ii<=4; ii++){
                            for(int jj=1; jj+ii<=5; jj++){
                                board[ii][jj] = abs(board[ii-1][jj] - board[ii-1][jj+1]);
                                if(chk[board[ii][jj]]) goto next_t;
                                chk[board[ii][jj]] = 1;
                            }
                        }
                        for(int ii=1; ii<=4; ii++){
                            for(int jj=1; jj+ii<=5; jj++){
                                printf("%d ", board[ii][jj]);
                            }
                            puts("");
                        }
                        puts("");
                        next_t:
                        for(int i=1; i<=10; i++) chk[i] = 0;
                    }
                }
            }
        }
    }
    
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    •  
      Simon Lv.1 2018.08.25 09:12

      goto문 쓰시네요;;

      좋아요0
    •  
      gunchang Lv.1 2018.08.29 17:05

      그러면 문제 해결인가요!

      좋아요0
  •  
    냐뇨기 Lv.1 2018.08.23 17:55

    crying

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  •  
    냐뇨기 Lv.1 2018.08.23 18:11

    보면 가로세로 합치면 다 9가 되네요!!

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  •  
    냐뇨기 Lv.1 2018.08.24 16:56

    보면 10,9,8,7,6,5는 불가능하고

    4,3,2만 되네여!!!

    1은 모르겟네~?

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    •  
      muse Lv.1 2018.08.24 18:36

      2는 안 되는 것 같습니다.

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    •  
      수학짱 Lv.1 2018.08.29 14:33

      1도 안 돼네요!

      좋아요0
  •  
    루피 Lv.1 2018.08.27 16:24

    5일때 위에서부터 2 10 9 6 8 1 3 7 2 5 이면 가능하지 않나요? 오류 있으면 얘기 해 주세요

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    •  
      상어 Lv.1 2018.08.31 16:31

      2가 두번들어가네요.

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  •  
    상어 Lv.1 2018.08.31 16:29

    방금 왔는데 벌써 거의다 다풀렸네요. (풀게 없다....)

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  •  
    데카르트 Lv.1 2018.09.29 19:48

    뭐가 증명이 안된거죠?

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  • 폴리매스 문제는 2019년도 정부의 재원으로 한국과학창의재단의 지원을 받아 수행된 성과물입니다.

  • ☎문의 02-6749-3911