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폴리매스 문제
세상에 없던 문제에 도전하세요!
[대한수학회] 대5. 볼록n각형의 성질을 밝혀라!
수학동아 2017.05.19 17:43 조회 3

볼록n각형 P=A_1A_2\cdots A_n에 대해 다음과 같은 사실을 증명하여라.

단, A_1, \cdots , A_n은 시계방향으로 놓여 있다.

 

(a) 변 A_iA_i_+_1 을 한 변으로 하고 다각형 P 위의 한 점 S를 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이가 최대가 될 때, 그 점 S를 S_i로 나타내자. 각 S_i는 P의 꼭짓점 중 하나다.

 

(b) S_i는 항상 S_i_+_1 보다 시계방향으로 앞서 있거나 S_i=S_i_+_1이다.

 

(c) 이러한 최대삼각형 넓이의 총합을  \sum_{i=1}^{n}|S_i|, P  넓이를 |P|라 하고,f(P)=\sum_{i=1}^{n}|S_i|-2|P|라 하자. 다각형 P를 적절히 변형하면 다음과 같은 조건을 모두 만족하는 다각형 P'을 얻을 수 있다.

조건1. P'은 마주보는 변이 서로 평행한 m각형이다. 이때 m은 짝수.

조건 2. f(P)\geq f(P')이다.

 

알립니다!

5월 18일 문제 ( c)가 수정됐습니다. 기존에는 f(P)=\sum(P)-|P| 라고 문제가 잘못 정의돼 있었습니다.

 

* 공지 *

수돌이 선수가​ 5번 문제의 답안을 올려줬는데요. 출제자에게 확인한 결과 (a), (b)는 완벽하게 맞았다고 합니다. 또 2006년 imo 6번 문제와 관련이 있다는 걸 알아낸 것이 대단하다고 평가해줬습니다.

다만 (c)에 대해서는 직접 풀이를 쓴 것이 아니어서 그 내용을 이해하고 있는지 파악하기가 어렵다는 의견을 보내왔습니다. 수학자는 이미 나온 증명도 좀 더 쉬운 증명을 찾기 위해 노력하는 만큼 (c) 풀이를 다시 기술해줬으면 좋겠다고 밝혔습니다.

  •  
    에프매스 2017.05.23 14:52

    수학자 2017.05.02. 16:02

    (c) 다각형 P를 적절히 변형한다는 것이 어떤 기준인가요? 어떤 양이 변하지 않나요?

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    •  
      에프매스 2017.05.23 14:52

      tommy 2017.05.02. 21:42

      제 생각엔 그냥 변형해서 저 두 조건을 만족하면 적절한 것 같은데요. 만약 조건을 만족시키지 않는다면 부적절한 변형이겠죠
      즉, 말만 변형이라고 해 놨지 실제로는 새 다각형을 아예 하나 만들어도 될 것 같습니다

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  •  
    에프매스 2017.05.23 14:53

    tommy 2017.05.02. 21:45

    .... 근데 저 명제들을 '증명하라'는 거라면 저 명제들은 이미 증명이 되어 참이라고 판명이 난 것들인가요? 아님 맞았든 틀렸든 명제의 진위를 가려내고 증명해라인가요?

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  •  
    에프매스 2017.05.23 14:53

    tommy 2017.05.02. 21:50

    일단 명제의 진위를 가려내라로 생각하고 풀겠습니다.
    근데, (a)에서 정사각형의 경우 i가 얼마든 간에 Si는 변 Ai+2 Ai+3 위에 있는 점이면 되지 않나요? 그럼 Si가 하나로 정해지지 않으니까 좀 모호해지는데.. 어쨌든 Si가 항상 P의 꼭짓점 위일 필요는 없으니 제 생각이 맞다면 (a)는 거짓이네요

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    •  
      에프매스 2017.05.23 14:55

      키퍼 2017.05.05. 10:13

      변에 있으면 삼각형이 아니라 사각형이 되지않나요..? 제가 잘못 이해한건가요???

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    •  
      에프매스 2017.05.23 14:56

      tommy 2017.05.05. 11:29

      키퍼  변 위에 있는 한 점(을 골라 Si이라 했습니다)과 Ai, Ai+1을 잇는 거니까 삼각형이 됩니다. ^^

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    •  
      에프매스 2017.05.23 14:56

      Nicholas 2017.05.06. 18:03

      정사각형일 때 뿐만 아니라 직사각형과 평행사변형에서도 Si가 하나로 정해지지 않는 것 같네요.^^

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    •  
      에프매스 2017.05.23 14:56

      tommy 2017.05.08. 23:16

      Nicholas  네ㅎ 뿐만 아니라 말 그대로 평행한 변이 있기만 해도 Si가 하나로 정해지지 않을 가능성이 있습니다;; 음..

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  •  
    에프매스 2017.05.23 14:57

    tommy 2017.05.02. 21:55

    근데 Σ(p)는 1 이상 n 이하인 i에 대한 S_i의 합인가요? 최대 삼각형 넓이의 총합이란 게 잘 이해가 안 가네요;

     

     

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  •  
    에프매스 2017.05.23 14:57

    수돌이 2017.05.03. 15:33

    (c) 말그대로 조건 두 개를 만족하는 다각형 P'를 찾으라는 것이면 정사각형 하나 그려놓고 닮음-축소시키면 f(P')는 감소하여 f(P)보다 작게 됩니다. 문제의 수정이 필요한 듯 합니다.

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    •  
      에프매스 2017.05.23 14:58

      Nicholas 2017.05.08. 08:44

      제 생각에는 조건 두 개를 모두 만족하는 다각형 P'를 찾으라는 것이 아니라 모든 P'가 밑의 조건 두 개를 만족한다는 것을 증명하라는 문제 같아요. 만약 제 생각이 맞다면 문제의 수정은 필요하지 않을 듯 싶은데... 수돌이님의 의견은 어떤가요?

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    •  
      에프매스 2017.05.23 14:58

      수돌이 2017.05.08. 17:44

      Nicholas  반대로 정사각형 하나 그려놓고 닮음-확대시키면 f(P')은 증가하여 f(P)보다 크게 되는 시점이 옵니다. 따라서 모든 P'가 주어진 조건을 만족하는 것은 아닙니다.

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    •  
      에프매스 2017.05.23 14:59

      tommy 2017.05.08. 23:17

      Nicholas  모든 P'라면.. P'의 정의는 뭐죠? P'이 조건 두 개를 모두 만족함을 보이라는 문제라면 P'의 정의에 그 두 조건이 사용되진 않았을 텐데요..

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    •  
      에프매스 2017.05.23 14:59

      수돌이 2017.05.08. 23:39

      tommy  p를 적당히 변형한 것이 p'라고 문제에서 정의되었습니다. 그 적당히의 기준이 나와 있지 않으므로 임의대로, 즉 임의의 다각형 p'라고 생각할 수 있습니다.

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    •  
      에프매스 2017.05.23 15:00

      tommy 2017.05.08. 23:45

      수돌이  임의의 다각형 p'라면 거의 당연히 두 조건을 모두 만족하지 않는 p'가 존재하지 않나요? ;;;

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    •  
      에프매스 2017.05.23 15:01

      키퍼 2017.05.09. 10:35

      tommy  앞에서 수돌이님이 말씀하신대로 정사각형일떄 주어진 조건을 만족하지 않으니까.....
      수정 해야될것 같은데.....

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    •  
      에프매스 2017.05.23 15:01

      Nicholas 2017.05.09. 19:25

      수돌이  흠... 정사각형을 닮음-확대 시키거나 닮음-축소 시키면 최대삼각형 넓이의 총합과 P'의 넓이가 함께 증가하거나 감소하니까 수돌이님의 말씀대로 f(p')가 f(p)보다 커지거나 작아지는 시점은 오지않을 것 같은데...

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    •  
      에프매스 2017.05.23 15:02

      Nicholas 2017.05.09. 19:37

      제 직관으로는 (b)는 잘 모르겠지만 적어도 (c)는 참일 것 같다는 생각이 들어서요... 물론 직관이 참이라는 것은 거짓이지만 -_-;; 그래도 (b)와 (c) 모두 증명하려 노력해보겠습니다!

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    •  
      에프매스 2017.05.23 15:04

      수돌이 2017.05.09. 19:41

      Nicholas  최대삼각형 넓이의 총합= A
      P'의 넓이 =B라고 합시다.
      f(p') = A - B > 0입니다. A>B인 것을 증명하는 것은 아주 쉽습니다.
      (사실, A>2B도 성립합니다. 이걸 증명하는 것이 2006년 국제수학올림피아드 6번이였습니다)

      이 도형을 k배의 닮음비로 확대합시다. k<1이면 축소가 되겠죠.
      넓이는 닮음비의 제곱에 비례하므로 f(P')=k^2A-k^2B 가 됩니다.
      =k^2(A-B) 입니다. 따라서 k의 값은 0보다 큰 실수이므로 k를 잘 조절하면 f(p)보다 커지게 할 수도 있고, 작아지게 할 수도 있습니다.

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    •  
      에프매스 2017.05.23 15:05

      수돌이 2017.05.09. 19:43

      Nicholas  개인적으로 저 이모티콘 맘에 들어요♡

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    •  
      에프매스 2017.05.23 15:06

      Nicholas 2017.05.09. 19:51

      수돌이  감사합니다 ㅋㅋㅋ k가 1보다 작으면 f(p')가 f(p)보다 작아지고 k가 1보다 크면 f(p')가 f(p)보다 커진다는 말씀이시죠?

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    •  
      에프매스 2017.05.23 15:07

      수돌이 2017.05.09. 19:53

      Nicholas  아니요 ㅎㅎ 예를 들어 f(p)=4이고 f(p')=1이라면
      k>2일 때는 f(p'')>f(p)이고,
      k=2일 때는 f(p'')=f(p)이고,
      k<2일 때는 f(p'')<f(p)이라는 것입니다!

       

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    •  
      에프매스 2017.05.23 15:07

      Nicholas 2017.05.09. 20:07

      수돌이  잠깐 딴 일 하다 답변이 늦었습니다. 이제 제대로 이해가 간 것 같네요.ㅎㅎ 그럼 결론적으로 (c)는 거짓이라는 말씀인가요?

       

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    •  
      에프매스 2017.05.23 15:09

      수돌이 2017.05.09. 22:54

      Nicholas  참이라는 거죠
      적당히 변형하여 조건을 만족하게 할 수 있음을 보이라는 것은
      조건을 만족하는 다각형이 있다는 것을 보이라는 것이니까요!

      그런데 증명과정이 다른 폴리매스 문제에 비해 너무 비정상적으로 쉬워서
      '적당히 변형'에 또다른 조건이 들어가는지(문제에서 누락되었는지) 의심이 된다는 것입니다.

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    •  
      에프매스 2017.05.23 15:10

      tommy 2017.05.10. 15:49

      키퍼  그러니까요.. 저도 수정이 필요할 것 같습니다;;

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    •  
      에프매스 2017.05.23 15:11

      키퍼 2017.05.10. 16:34

      수돌이  아....전부라는 말이 들어가지 않았으니까 다각형이 만들어진다는 것인가요..?

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    •  
      에프매스 2017.05.23 15:19

      tommy 2017.05.12. 22:24

      키퍼  '얻을 수 있다'로 끝나는 명제를 증명하라는 것은 그 경우 1개만 제시하면 됩니다. 근데 수돌이 님 말씀대로 너무 싱겁게 끝나서 말이죠;;

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    •  
      에프매스 2017.05.23 15:20

      키퍼 2017.05.13. 11:34

      tommy  허허허....

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  •  
    에프매스 2017.05.23 15:20

    수돌이 2017.05.04. 11:44

    문제의 해석이 어떠하던지 간에 이 문제와 관련이 있는 것은 거의 확실합니다.

    2006년 국제수학올림피아드 6번
    http://imo-official.org/problems/IMO2006SL.pdf
    쇼트리스트에서는 G10번을 봐주세요

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    •  
      에프매스 2017.05.23 15:21

      키퍼 2017.05.07. 17:25

      ㅋㅋㅋ...영어라 뭔말인지 모르겠어요....

       

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  •  
    에프매스 2017.05.23 15:21

    키퍼 2017.05.05. 10:15

    Si는 뭔지 알겠는데 Si+1은 뭔가요..? 여기 안나와있지 않나요??

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    •  
      에프매스 2017.05.23 15:22

      tommy 2017.05.05. 11:31

      (a)와 (b)에 둘 다 i를 써서 혼동될 수 있겠네요. (a)의 i와 (b)의 i는 그냥 일반화를 위해 적은 것일 뿐 다르다고 보시면 될 것 같습니다. 아예 (b)의 i는 새 문자 j로 보셔도 되고요. 또는 (a)에서 모든 i를 기계적으로 i+1로 바꿔 보시면 Si+1이 뭔지 아실 겁니다.

       

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    •  
      에프매스 2017.05.23 15:22

      Nicholas 2017.05.06. 17:36

      tommy  그런데 만약 Si가 위에서 정의한 대로 삼각형의 넓이가 최대가 되게 하는 P위의 한 점이라면 Si+1이 의미하는 바가 무엇인지 혹시 아시나요?

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    •  
      에프매스 2017.05.23 15:22

      tommy 2017.05.08. 23:19

      Nicholas  그러니까 단도직입적으로 말씀드리자면,
      변 Ai+1 Ai+2을 한 변으로 하고 다각형 P 위의 한 점 S를 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이가 최대가 될 때 그 점 S=Si+1
      입니다. 문제에서 모든 i를 i+1로 바꿔 생각하시면 됩니다.

       

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  •  
    에프매스 2017.05.23 15:23

    키퍼 2017.05.06. 10:57

    (a)음.....그러면 시계방향으로 있다고했는데...
    삼각형이 되려면 정사각형으로 봤을때 꼭짓점이 되어야 되지 않나요??

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    •  
      에프매스 2017.05.23 15:24

      Nicholas 2017.05.06. 17:30

      볼록n각형 P위의 한 점이기만 하면 어떤 점이든 AiAi+1과 함께 삼각형을 이룰 수 있습니다.(예를 들어 삼각형A1A2B. B는 P위의 한점을 말함.)

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    •  
      에프매스 2017.05.23 15:24

      키퍼 2017.05.06. 17:45

      Nicholas  음...무슨말이신지 이해가 잘안가네요....

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    •  
      에프매스 2017.05.23 15:24

      Nicholas 2017.05.06. 18:10

      키퍼  사진으로 설명해드릴 수 있으면 좋을텐데... 굳이 꼭짓점이 아니더라도 정사각형에서 어떤변 위에 있는 한 점과 나머지 두 꼭짓점 (여기선 Ai와 Ai+1 을 말합니다.) 을 이으면 삼각형이 될수 있다는 뜻입니다. 이해가시나요? 제가 키퍼님의 질문을 제대로 이해한게 맞았으면 좋겠네요.

       

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    •  
      에프매스 2017.05.23 15:25

      키퍼 2017.05.06. 18:30

      Nicholas  아....꼭짓점....전 지금까지 변인줄알았네요...감사합니다~~

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  •  
    에프매스 2017.05.23 15:25

    Nicholas 2017.05.11. 21:06

    그런데 (b)에서 '시계방향으로 앞서있다.' 라는 표현이 좀 헷갈리는데... 예를 들어 시계에서 12는 8보다 시계방향으로 뒤에 있다고 해야 하나요, 아니면 앞에 있다고 해야 하나요? 시작을 어디로 하냐에 따라 다르지 않나요?

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    •  
      에프매스 2017.05.23 15:27

      tommy 2017.05.12. 22:23

      그렇군요. 8에서 12까지의 각도가 평각 이내이면, 그러니까 360도의 앞 절반 안에 12가 들어오면(이 경우 120도이고, 8~2 안에 12가 들어오니까 8 뒤 12) 12는 8 뒤라고 할 수 있지 않을까요..?

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    •  
      에프매스 2017.05.23 15:28

      Nicholas 2017.05.14. 22:51

      tommy  그러니까요...조건에 따라 달라지는데... 어떻게 해석해야 할지 모르겠네요.

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    •  
      에프매스 2017.05.23 15:28

      키퍼 2017.05.15. 20:21

      시계방향으로 라고 하였으니까... 8이 12보다 더 앞에있다.
      12가 8보다 뒤에있는것이라고 생각하는게 맞는것 같습니다.

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    •  
      에프매스 2017.05.23 15:28

      Nicholas 2017.05.15. 21:15

      키퍼  흠... 그렇군요. 그렇게 되면 제가 생각했던 것보단 (b)의 증명이 좀 더 어려워 질 것 같네요.

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    •  
      에프매스 2017.05.23 15:29

      tommy 2017.05.18. 23:35

      Nicholas  거기다 심지어 이 방식으로는 8과 2의 순서를 구분하지 못하죠. 둘은 서로 '마주보고 있다'고 해야 할까요? ㅎㅎ;

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    •  
      에프매스 2017.05.23 15:30

      Nicholas 2017.05.18. 23:36

      tommy  그러게요... 어쨌든 증명은 해 보도록 해야죠...^^

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    •  
      에프매스 2017.05.23 15:30

      tommy 2017.05.18. 23:40

      Nicholas  이것도 앞선 걸로 보고 증명해야 할까요ㅎㅎ;

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    •  
      에프매스 2017.05.23 15:31

      Nicholas 2017.05.18. 23:41

      tommy  글쎄요.. 긁적긁적^^;;

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    •  
      에프매스 2017.05.23 15:31

      tommy 2017.05.18. 23:45

      Nicholas  설마 두 가지로 나누어서ㄷㄷ

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  •  
    에프매스 2017.05.23 15:31

    수돌이 2017.05.21. 13:40

    드디어 문제가 수정되었군요!
    해결했습니다
    http://blog.naver.com/dillon0108/221010671421

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