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[창의 퍼즐] 넓이의 이등분선의 이등분점의 자취
퍼즐&Scratch 2019.07.29 23:53

어떠한 볼록도형 S에 대해 그 도형의 넓이의 이등분선이 180^{\circ} 회전하는 동안 도형에 포함된 부분의 이등분점이 이동하는 자취를 P라고 하자. 여기서 P의 둘레는 S의 넓이의 이등분선이 180^{\circ} 회전하는 이동한 거리로 정의한다. 

1) P의 둘레가 0이 될 조건은?

2) 넓이가 같을 때 P의 둘레가 가장 큰 볼록도형은 무엇인가?

3) S의 넓이의 이등분선은 언제나 P에 접하는가?

(S가 정삼각형일 때의 경우를 gif로 만들어 보았습니다.)

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    뉴__턴 Lv.1 2019.07.30 15:39

    1번 답 : S가 원일 때

    2번 답 : 정삼각형(일 것 같은데요...)

    3번 답 : 예, 이유: 넓이의 이등분선으로 만든 도형이여서

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      Undefined Lv.3 2019.07.31 00:57

      2) 홀수 개의 변을 가진 별다각형?을 변 개수를 무한으로 limit 시키면? 무한 될듯 합니다.

      (수정: 볼록 도형이군요. 죄송합니다.)

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    •  
      퍼즐&Scratch Lv.1 2019.07.31 19:19

      1번 : S가 원이 아니어도 P의 둘레는 0이 될 수 있습니다. 한 번 생각해보시길 바랍니다~

      2번 : 저도 답을 잘 몰라요... (디듀우 님 댓글 보고 알았어요)

      3번 : 조금만 더 구체적으로 설명해 주실래요? 자취를 생성하는 도형이 항상 자취에 접해야 하는 것은 아니거든요

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    해결
    디듀우 Lv.1 2019.07.31 11:32

    2번은 이등변삼각형의 꼭지각을 밑변에서 엄청 멀리 보내버리면 무한히 늘어날 수 있지 않을까요?

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    •  
      퍼즐&Scratch Lv.1 2019.07.31 19:23

      디듀우 님의 댓글을 보다가 해답이 생각났어요! 이 두 단계를 거치면 됩니다. 

       

      1) S가 삼각형일 경우 "(P의 둘레) > (S의 둘레)/4" 임을 증명한다. 

      2) 한 변의 길이가 x이고, 높이가 2/x 인 이등변삼각형(x를 제외한 나머지 두 변의 길이가 같음)에 대해 "\lim_{x\rightarrow \infty(S의 둘레) = \infty"임을 증명한다.

       

      이 두 가지가 모두 사실이라면 일정한 넓이의 S에 대해 P의 둘레에는 상한이 존재하지 않음이 증명됩니다. 

      - 빨간색 글자 : 원래 P라고 되어 있어서 수정했습니다. 

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      디듀우 Lv.1 2019.08.02 16:22

      왜 하필 "(P의 둘레) > (S의 둘레)/4" 인가요?

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      퍼즐&Scratch Lv.1 2019.08.02 19:45

      그것을 직접 증명해 보시면 좋을 것 같아요 ^^

      힌트 1 : 무게중심, 2 : 1

      힌트 2 : SAS 닮음, 닮음비??

      힌트 3 : 평면 상의 두 점을 잇는 선들 중에 가장 짧은 것은...

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    tommy Lv.1 2019.08.03 18:56

    되게 참신한 문제인 것 같네요..! 실제 폴리매스 문제로 나와도 좋을 것 같아요ㅎㅎ

    일단 1번의 경우는 원도 가능하고 임의의 정2n각형은 모두 가능할 것 같네요! ㅎㅎ

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      퍼즐&Scratch Lv.1 2019.08.04 21:57

      감사합니다 tommy님! ㅎㅎ 앞으로도 참신한 문제를 더 만들어볼게요 ^^

      혹시 1번 문제를 만족하는 도형을 모두 구할 수 있을까요? 몇 가지 유형은 있거든요.

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  • 폴리매스 문제는 2019년도 정부의 재원으로 한국과학창의재단의 지원을 받아 수행된 성과물입니다.

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