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[국가수리과학연구소] 국15. 빛을 머금은 거울
수학동아 2018.02.28 17:48 조회 1

 

국가수리과학연구소의 15번째 문제입니다.

 

그림1                          그림2

[그림1]                                                             [그림2]

 

 빛이 거울을 만나면 입사각과 반사각이 같게 다시 반사된다. 마찬가지로, 당구에서 공을 벽에 대고 치면 (이상적인 경우에는)공이 움직이는 경로와 벽이 이루는 각도만큼 반사돼 움직인다. 이러한 원리로 인해, 위 [그림1] 같이 거울로 벽을 만들고 빛을 쏘면 빛이 거울 벽을 계속 치면서 진행할 것이다. 그렇다면 빛이 거울로 이루어진 공간을 빠져나갈 수 없게 거울을 잘 배치할 수 있을까? 더 자세히 생각해보면 다음과 같은 경우를 고려해볼 수 있다. 각 경우에 대해 탐구해보자.

 

 

[문제]

 

문제1.

평면 위에 점 AB를 잇는 곡선 C를 그린다고 해보자. 이 곡선은 뾰족한 부분 없이 부드럽게 AB를 잇고, AB를 잇는 선분 \large s와 만나지 않아야 한다. 이렇게 곡선을 그리면 곡선 C는 선분 \large s를 입구로 가지는 어떤 빈 공간 R을 이루게 된다. 그렇다면 어떤 빛 l이 존재해서, l\large s를 지난 뒤 영역 R에서만 움직일 수 있도록 점 A, B와 곡선 C를 잘 그릴 수 있을까?

 

 

문제2.

1번과 같은 상황에서, 이번엔 C가 부드러운 곡선이 아닌 서로 이어진 유한개 선분으로 이뤄져 있다고 하자([그림2] 참고). 똑같이 빛 l을 잡아서 ls를 지난 뒤 영역 R에서만 움직이게 할 수 있을까? 이때 l은 점 AB를 포함해 곡선 C에 있는 뾰족한 코너를 만나면 안 된다고 가정하자.

 

 

문제3.

1번과 같은 상황에서, 영역 R을 볼록*하게 만들 수 있을까?

*곡선이 영역 안쪽으로 움푹 들어간 경우가 없을 때 ‘볼록’하다고 한다.

 

(추가)문제4. 만약 1번 문제에서 하나의 빛이 아니라 어떤 빛 l에서 조금씩 변형을 가한 빛들을 모두 가둬야 한다면 어떻게 될까? 여기서 조금씩 변형을 가한다는 건, 어떤 양수 \epsilon에 대해 영역 밖에 있는 l 위의 고정된 점 p에서 쏜 빛이 l과 이루는 각도가 \epsilon이하만큼 차이난다는 뜻이다.

 

 

 

※ 알립니다

3월 2일 현재 소문제 1, 3번이 수학장, 빌 힉스 친구에 의해 해결됐습니다. 

1번에서 타원을 이용함으로써 3번의 정답은 저절로 '가능하다'가 됐군요!

+

Poincaré12 친구의 추가문제 4번에 대한 풀이가 정답으로 최종 확인됐습니다.

 

이제 남은 건 2번뿐!! 

 

댓글 109
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  •  
    수학장 Lv.1 2018.02.28 18:56

    아............... 이거 옛날에 생각해봤던 건데 어려워서 포기했던 건데............

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    •  
      Mathdragon Lv.1 2018.02.28 18:57

      이참에 다시 한 번 도전해 보셔요

      저도 어릴 때 생각해 보다가 이번에 다시 생각하게 되네요

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  •  
    수학장 Lv.1 2018.02.28 19:03

    1번, 3번 :  이런 식으로 A와 B를 포함하는 타원을 그리고, a와 b를 잇는 짧은 부분은 없앤다. 타원에 초점을 지나는 빛을 쏘면 다른 초점으로 이동하므로 각은 점점 좁아지다가 빛 l은 두 초점을 지나는 직선으로 바뀌게 되어 거울 속에 갇힌다.

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    •  
      수학장 Lv.1 2018.02.28 19:03

      예전해 생각해 뒀던 거 찾았습니다. 1번, 3번 정답입니다. 맞는지 틀렸는지는 확신이 안 가네요.

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    •  
      Mathdragon Lv.1 2018.02.28 19:11

      한 번 같이 생각해 보면 왠지 풀릴 것 같네요

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    •  
      킬러퀸 Lv.4 2018.03.02 09:22

      '곡선 C를 타원으로 만들고, 초점을 지나게 l을 입사시킨다'는 거군요!

      현재 정답 확인 중에 있습니다~.

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  •  
    Mathdragon Lv.1 2018.02.28 19:10

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    •  
      Mathdragon Lv.1 2018.02.28 19:10

      저도 방금 풀어 봤어요 맞을지는 모르겠지만 1,3번 풀었습니다.

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    •  
      수학장 Lv.1 2018.02.28 19:15

      mathdragon님 메일 주소 알려주세요. 서로 답 공유해봐요.

      제 메일은 benedict0724@naver.com입니다.

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    •  
      빌 힉스 Lv.1 2018.03.01 20:19

      Mathdragon 님이 하신 증명은 "어떤" 이 아닌 "모든" 빛 l에 대해 조건이 성립할지 보이는 것 아닌가요?

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    •  
      수학장 Lv.1 2018.03.01 21:06

      어떤 한 빛만 가능하면 됩니다. 모든 빛이 아닙니다.

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  •  
    티민thymine Lv.1 2018.02.28 20:35

    빛 l은 벽면과 수직으로 만나면 안 됩니다. 그러면 반대로 돌아서 다시 나오게 될 테니까요.

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    •  
      티민thymine Lv.1 2018.02.28 20:36 비밀댓글
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    •  
      킬러퀸 Lv.4 2018.03.02 09:17 비밀댓글
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    •  
      티민thymine Lv.1 2018.03.03 20:37 비밀댓글
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    •  
      티민thymine Lv.1 2018.03.03 21:12 비밀댓글
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  •  
    빌 힉스 Lv.1 2018.03.01 01:08

    문제 1번, 3번

    타원의 광학적 성질을 이용할수 있을 것 같네요.

     

    다음 그래프를 생각합시다.

    <약속과 전제>

    1. 회색선분이 문제의 s, 보라색 곡선이 C:\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1 의 일부입니다.

    2. 타원의 한 초점을 지나는 빛은 타원에 의해 반사되어 무조건 다른 초점을 지납니다.

    3. x좌표가 음수인 초점을 F', 양수인 초점을 F라고 합시다.

    4. n번째로 타원과 빛이 만나 반사되는 지점을 A_{n}(x_{n}, y_{n})이라고 합시다.

    5. n번째로 반사된 빛의 경로에 해당하는 선분을 l_{n}이라고 합시다. (처음 입사된 빛은 l_{0})

    6. l_{n}의 기울기=m_{n} 라 합시다.

     

    l_0는 F'를 지나고, m_0>\frac{3}{4} 입니다.

    l_1는 A_1와 F를 지나고, 대칭성에 의해 |m_1|<\frac{3}{4}<m_0 입니다.

    l_2는 A_2와 F'를 지나고, |m_2|=\frac{|y_3|}{|x_3-x_2|} 입니다.

    이 때, \overline{A_2F}>\overline{A_3F'} 이기 때문에

     |y_3|<|y_2| 이고, |x_2-x_3|>|x_1-x_2| 이므로

    |m_2|<|m_1| 입니다.

    ...

    이와 같은 과정에서

    |y_{n+1}|<|y_{n}| , |x_{n}-x_{n+1}|>|x_{n-1}-x_n| 이 언제나 성립하므로,

    |m_{n-1}|> |m_n| 또한 언제나 성립합니다.

     

    n이 무한대로 발산하면 다음 극한이 성립합니다.

    \lim_{n\rightarrow \infty}|m_{n}|=0

     

    F'또는 F를 지나는 빛 l_n의 기울기가 0에 수렴하므로,

    l_n과 타원의 교점인 A_{n}의 y좌표가 0에 수렴합니다.

    A_{n}은 타원 위의 점이므로, 무한히 시행했다고 가정하면 다음이 성립합니다.

    \lim_{n\rightarrow \infty }A_{2n-1}=P'\lim_{n\rightarrow \infty }A_{2n}=P (P, P'는 타원의 x축 위 두 꼭짓점)

     

    이를 종합하면 l_nn이 커질수록 타원의 장축에 점근하므로,

    l은 회색선분 s를 다시는 지나지 않음,즉 영역 R내에서만 움직임을 알 수 있습니다.

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    •  
      Mathdragon Lv.1 2018.03.01 11:21

      그런데 굳이 초점을 지나도록 빛을 입사시켜야 하는 것이 아니라 다른 각도로도 빛을 입사시킬 수 있지 않을까요?

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    •  
      빌 힉스 Lv.1 2018.03.01 11:28

      초점과 s를 동시에 지나는 빛이 무한히 많아서 어떤 각도로 입사되든 초점만 지나면 문제의 조건을 만족할 것 같네요. 물론 초점을 지나지 않는 빛 중 일부도 R 내부에만 존재하는 경우가 있겠지만, 그 경우는 증명할 방법을 모르겠어서 초점을 도입했어요. 어차피 조건을 만족하는 어떤 빛이 있음만 보이면 되니까요.

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    •  
      수학장 Lv.1 2018.03.01 11:39

      오 저랑 똑같이 푸셨네요. 저도 타원을 이용했습ㄴ다

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    •  
      킬러퀸 Lv.4 2018.03.02 09:26

      수학장 님과 마찬가지로 타원을 이용했고, 추가로 구체적인 증명을 덧붙여 주셨네요!

      타원을 이용한 풀이는 현재 정답 확인 중에 있습니다~.

      좋아요1
  •  
    뉴턴의 사과 Lv.1 2018.03.01 12:28

    음 2번 도전하고 있는데 어렵네요 1,3번처럼 원이나 타원같이 마땅한 모양도 없고...

     

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  •  
    Mathdragon Lv.1 2018.03.01 20:00

    어떤 빛 l 에 대해서 그 빛이 어떤 특정한 하나의 빛에 대해 하나라도 곡선이 존재할 수 있다면 이 문제의 곡선 C는 그릴 수 있을 것이고, 만약 어떤 특정한 상황이 정해져 있지 않다면 빛이 나오는 방법이 존재하기 때문데 곡선 C는 존재하지 않을 것입니다.

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    •  
      Mathdragon Lv.1 2018.03.01 20:01

      여기에서 제 풀이는 평균값 정리와 같은 방식으로 이해하시면 될 듯 합니다.

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    •  
      수학장 Lv.1 2018.03.01 22:36

      문제가 빛 하나만 거울 속에서 계속 반사되도 조건을 만족하는 거 아닌가요? 문제에서 어떤 빛 L이라고 했으니까요.......

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  •  
    여백 패르마 Lv.1 2018.03.02 14:48

    2번은 변의 개수를 거의 무한개로 만들어서 타원으로 하는 것은 어떻할까요??

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    •  
      뉴턴의 사과 Lv.1 2018.03.02 19:38

      저도 그러면 될것 같았는데 변의 수가 유한하면 타원이 아니니까 약간 이상한대로 샐수도 있고 그렇다고 변위 개수를 무한하게 하면 유한개라고 볼수가 없어서...

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  •  
    수학장 Lv.1 2018.03.02 23:13

    2번을 1번이나 3번처럼은 못 풀 것 같습니다. C를 이루는 직선이 아무리 많다고 해도, 유한한 직선으로 이루어진 C에서는 빛 l이 n번 튕겨저 나오는 장축에 대한 기울기를 l_{n}이라 하면, \lim_{l\rightarrow \infty }l_{n}은 절대로 0이 되지 않습니다. 직선의 개수가 유한하기 때문입니다. l_{n}이 튕겨저 나올 때 향하는 직선을 C_{n}이라고 하면, C_{n}의 기울기는 항상 달라지고 그러면 C_{n}의 개수는 무한해져야 하는데, 처음 조건에 어긋납니다. 장축에 대한 기울기가 0이 아니면, 빛 l은 여러 번 튕겨지다가 장축에 대해 90도 방향이나 -90도 방향으로 점점 이동하면서 튕겨지게 됩니다. 그러다가 기울기가 다른 면을 만나면, 다른 방향으로 꺾이고, 그러다가 언젠가는 s를 통과해서 밖으로 나가게 될 것입니다.

    그러면 l_{n}을 1번 또는 3번처럼 극한으로는 풀지 못하는데, 그러면 방법은 어떤 경로 t를 순환해야 합니다. 직선으로 이루어진 거울에서 어떤 경로 t에 진입하기 위해서는, t의 방향과 위치로 빛을 쏴야 합니다. 다른 거울을 통해 그 방향으로 가려 해도, 그 거울로 튕겨내서 같은 방향과 같은 위치로 가게 하려면, t의 경로 중 다른 직선으로 빛 l을 쏘는 것이 됩니다. 결국, t가 맞는 벽 t_{p}중 하나는 뚫려 있어야 하고, 그러면 빛 l은 순환하지 못하고 거울 밖으로 나가게 됩니다.

     

    빛이 순환하지 않고 조금씩 움직이는 경우에는, 빛 l을 쏠 수 있습니다. 다만, 계속 움직이다가 결국 공간 R을 나오게 될 것입니다. 빛 l이 계속 움직이다 같은 위치와 방향으로 돌아오는 건, 순환한다는 뜻이고, 그러면 그 전에 공간 R에서 나가 있을 겁니다.

     

    제 결론은, 유한한 직선으로 되 있는 C에 대해서는, 빛 l을 가둬 놓을 수 없다는 것입니다.

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  •  
    수학장 Lv.1 2018.03.02 23:21

    그런데, 이 문제처럼 타원을 이용해 빛을 무한히 튕겨내는 게 현재의 기술로 현실에서 실현할 수 있을까요? 궁금하네요......

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    •  
      빌 힉스 Lv.1 2018.03.03 00:16

      현실에서 재현은 불가능할것같네요...

      반사율이 100%인 거울은 없고, 아무리 반사율이 높더라도 빛의 속도로 반사가 이뤄지니까 찰나의 시간에도 많은 양의 빛이 흡수될테니까요.

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  •  
    Mathdragon Lv.1 2018.03.03 00:02

    이렇게 생각해서 풀어도 될 것 같아요.

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    •  
      Mathdragon Lv.1 2018.03.03 00:03

      볼록다각형에 대해서만 증명을 해도 되는 거죠

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    •  
      수학장 Lv.1 2018.03.03 00:09

      흐음... 글쎄요 오목다각형에 오목한 게 여러 개가 있을 수도 있어서.... 제가 위에 쓴 풀이를 좀 더 보완해주실 순 없나요?

      지금 말씀하신  볼록다각형 불가능=>오목다각형 불가능을 좀 정확하게 해 주시면 합니다. 오목한 곳이 k개 있을 때로 일반화해서요.

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    •  
      뉴턴의 사과 Lv.1 2018.03.03 10:26

      그냥 볼록다각형만 증명을 하면 오목다각형도 볼록다각형 여러개로 이루어져 있는 거니까 볼록다각형만 증명해도 될것 같은데요.

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    •  
      tommy Lv.1 2019.03.03 00:53

      혹시 그렇다면 같은 아이디어로 볼록다각형을 더 기본 단위인 삼각형으로 쪼갤 수는 없을까요?

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  •  
    뉴턴의 사과 Lv.1 2018.03.03 10:34

    저...그런데 사진 업로드 어떻게 하죠?

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    •  
      수학장 Lv.1 2018.03.03 11:52

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    •  
      수학장 Lv.1 2018.03.03 11:52

      이렇게 하시면 됩니다.

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    •  
      킬러퀸 Lv.4 2018.03.26 13:38

      수학장 친구, 친절한 설명 감사드려요!! laugh

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  •  
    Mathdragon Lv.1 2018.03.03 12:29

    직선의 길이를 0에 수렴하도록 작게 만든 다음 그 직선을 이어 붙인 것은 곡선이라고 봐야 하나요?

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    •  
      수학장 Lv.1 2018.03.03 17:36

      직선이 0에 수렴할 때, 어떤 선을 이루려면 그 직선의 개수가 무한히 많아야 합니다

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  •  
    뉴턴의 사과 Lv.1 2018.03.04 19:17

    제생각엔 볼록다각형만 증명을 해도 오목다각형도 같이 증명될 것 같네요. 예를 들어

    이렇게 생긴 못생긴 오목다각형 녀석이 있어도

    이렇게 볼록다각형의 집합으로 바꿀수 있으니까요.

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    •  
      여백 패르마 Lv.1 2018.03.04 19:53

      그림에 있는 도형 볼록다각형 아닙니다.

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    •  
      뉴턴의 사과 Lv.1 2018.03.04 20:05

      오목다각형을 볼록다각형으로 나눈건데... 그냥 그림은 보지 마시고 Mathdragon님 아이디어랑 같다고 보시면 될것 같네요.

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    •  
      여백 패르마 Lv.1 2018.03.04 20:37

      아니 중앙 말이죠.

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    •  
      뉴턴의 사과 Lv.1 2018.03.05 17:35

      아...제가 잘못 그렸네요. 그냥 볼록다각형은 오목다각형을 볼록다각형의 집합으로 생각해도 될것 같다는 의견만 아시면 될것 같습니다.

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  •  
    수학장 Lv.1 2018.03.05 20:44

    l이 이동하는 방법이

    1. 같은 경로를 순환한다.

    2. 순환하지 않는다.

    이렇게 2가지로 나눌 수 있습니다. 순환하지 않는 경우에는, 언젠가는 빛 l이 공간 밖으로 빠져나갈 것입니다. (아무리 오래 걸리더라도 말이죠)

    그리고, 같은 경로를 순환하는 경우가 있는데, 이 경우에는 순환 자체가 불가능하다는 것을 보일 수 있습니다. 순환하는 경로에 끼려면 순환 경로 t에 대해 t와 같은 방향과 위치로 빛l을 쏴야 합니다. 그러려면 직접 보낼 수는 없고, 거울에 튕겨 보내야 하는데, 그러려면 거울에 튕기기 위해 쏴야 할 빛 l은 경로 t의 일부가 됩니다.

    따라서, 2번은 불가능합니다.

    뭔가 풀이가 완성도가 낮은 거 같지만 일단 오류 있으면 말해주세요.

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    •  
      뉴턴의 사과 Lv.1 2018.03.06 19:19

      그런데 이방식으로 1,3번을 설명하면 어떻게 해석되나요?

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    •  
      뉴턴의 사과 Lv.1 2018.03.06 20:17

      다시 생각해보니 맞는것 같네요.계속 같은 경로를 반복하려면 같은 경로 t를 순환해야 하는데 입사된 빛 l이 경로 t에 포함되지 않고 걍로 t를 반복할순 없습니다. t를 반복할때 l은 어짜피 l의 일부이기 때문에 경로 t를 반복하면 입사된 빛은 다시 나오게 됩니다.

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    •  
      수학장 Lv.1 2018.03.06 21:18

      1, 3번은 곡선이기 때문에 가능한 겁니다. 2번은 직선이 무한할 수 없지만 1, 3번은 무한한 직선으로 빛 l을 장축에 가깝게 했으니까요.

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    •  
      뉴턴의 사과 Lv.1 2018.03.07 14:52

      아 그롷군요 곡선은 특이하네요(제가 아는게 없어서)

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    •  
      이름없음 Lv.1 2018.03.15 18:24

      무한히 반복되다가 한 경로 t에 수렴하는 경우면 빛이 입사되는 위치가 경로 t에 포함되지 않을 수도 있지 않을 까요?

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    •  
      수학자 Lv.1 2018.03.18 00:33

      순환하는 것이 절대 안 된다는 것은 맞는 것 같습니다. 만약 순환이 된다면 특정 벽의 똑같은 위치에 똑같은 방향으로 입사해야 하는데, 그렇다면 그 전의 모든 경로가 같기 때문에 다시 바깥으로 나온 상태가 되어야 하므로 모순이 됩니다. 이 부분은 정확하게 설명하셨네요. 그러므로 순환하지 않는 경우만 생각하면 되겠습니다.

      하지만 사실 저는 "가능하다"라고 추측하고 있습니다. 직선에서도 무한의 성질을 잘 이용한다면 빛이 내부에 계속 있도록 할 수 있을 것이라 생각합니다. 문제에 완벽하게 들어맞는 예시는 아니지만, 정사각형의 한 꼭짓점에서 무리수 기울기로 입사한 직선은 다른 어떤 꼭짓점에도 맞지 않고 무한히 운동할 수 있습니다. 이렇게 무리수를 이용한다면, 조건에 맞는 경우도 찾을 수 있지 않을까 생각합니다. 하지만 이 정사각형 예시의 구석에 작은 구멍을 뚫는 것으로는 안 된다는 것을 증명할 수 있습니다. 어떤 무리수라도, 그 배수들의 소수 부분을 모아놓은 집합은 (0,1)에서 "조밀"하기 때문이죠. 조밀하다는 것은, 그 범위의 임의의 두 실수 사이에도 집합의 원소가 있다는 것입니다. 만약 어떤 다각형의 형태라도, 이러한 논리를 전개할 수 있다면 순환할 수 없음을 증명할 수 있겠습니다.

      사실 정사각형에 대해서 이야기를 할 때, 반사되는 부분을 대칭시켜서, 입사하는 직선이 반사되는 부분을 "펼치는" 논리를 씁니다. 아마 임의의 다각형에 대해서도 이 논리가 유용하지 않을까 싶네요.

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    •  
      뉴턴의 사과 Lv.1 2018.03.19 15:51

      흠 무리수를 생각하니까 될것 같다는 생각이 들기도 하네요.

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    •  
      수학장 Lv.1 2018.04.29 00:13

      '조밀'하기 때문에 불가능하지 않을까요? 무리수의 배수의 소수 부분이 (0,1)에서 조밀하다면 (0,1) 사이에서 두 수 사이에는 항상 다른 수가 존재하게 됩니다. 즉, 차이가 매우 작아도, 그 사이에는 다른 수가 존재합니다. 따라서, 빛이 진입하는 통로의 크기가 아무리 작아도, "조밀"하기 때문에 그 사이에는 항상 수가 존재하게 되고, 다시 밖으로 빠져나갈 수 있다는 것이 제 생각입니다.

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  •  
    David Lv.1 2018.03.28 02:05

    혹시 4번 문제가 이 조명 문제랑 연관있는 것 아닌가요? 

     

    https://en.wikipedia.org/wiki/Illumination_problem

     

    여기 있는 점에서 찾으면 2번이랑 4번도 어찌어찌 접근할 수 있을 것 같은데요.

    제가 생각한게 맞는지 모르겠네요. 이 문제는 뚫려있는 것을 상정하지 않았지만 임의의 시작점을 뚫으면 가능하지 않을까요?

     

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  •  
    Mathdragon Lv.1 2018.03.31 23:41

    추가 문제의 경우에는 처음에 제가 올렸던 방법이면 풀릴 수 있을 것 같네요.

    어떤 빛 l에서 변형을 가하므로 그 변형을 가한 빛 중 적어도 하나는 90º로 반사되어 들어간 빛 그대로 나올 수 있게 되지 않을까요?

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  •  
    Poincaré12 Lv.1 2018.04.06 23:08

    (4번 답:가능)

    포물선의 초점에서 포물선에 빛을 쏴 축과 평행하게하고 그평행한 직선들을 축이평행한 또다른 포물선에 반사시키면 빛이 다시 이 포물선의 초점으로 모인다.

    이 초점을 한 초점으로 하는 타원을 그리면 1,3번의 수학장, 빌힉스님의 풀이에 의해 빛이 갇힌다

    (실수로 처음 포물선과 타원의 한끝을 연결을 안했네요;;)

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    •  
      Poincaré12 Lv.1 2018.04.06 23:11

      그림에서 타원과 두번쨰 포물선을 이을떄 부드럽게 이어지지 않게 그렸는데 그 부분은 주어진그림에서는 빛이 지나지 않으므로 부드럽게 수정하여도 문제가 생기지 않습니다

       

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    •  
      Poincaré12 Lv.1 2018.04.06 23:14

      이거 확인 부탁드림니다

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    •  
      킬러퀸 Lv.4 2018.04.10 09:06

      Poincaré12 친구의 풀이는 현재 확인 중에 있습니다!!laugh

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    •  
      킬러퀸 Lv.4 2018.04.10 11:51

      정답입니다! Poincaré12 친구, 축하드려요!yes 

      이제 소문제 (2)번만 해결하면 15번 정복!

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  •  
    수학장 Lv.1 2018.04.28 23:53

    2번 문제 계속 연구해도 가능한 경우가 안 나와서 불가능하다고 생각했는데

    일단 제가 정리한 생각은

    1. 빛이 순환한다,.

    2. 빛이 순환하지 않는다.

    1번에서는 순환 경로에서 빛을 쏴야 하는데 그러면 거울 밖에서 쏴서 순환 경로와 같게 한다는 것은 불가능합니다.(자세한 설명은 위에 어딘가 있음)
    2번인데요, 직사각형에서 이 그림으로 를 들어보겠습니다. 

     

    대충 그렸는데요, 두가지 케이스로 나뉘는데

     

    1.일단  \frac{b}{a}가 유리수이다? 그러면 b번 벽에 부딪힐 때마다 순환을 하게 되는데, 순환은 불가능하므로 \frac{b}{a}는 무리수가 됩니다. (저 그림은 대충 그린 거고 무슨 뜻인지 이해시키기 위한 것으로 그림이 정확하진 않지만 태클 걸기 x)

     

    2. \frac{b}{a}가 무리수이다? 그러면 순환을 하지 않게 되고, 계속 변하면서 저 안을 맴돌게 됩니다. 그런데 무리수이므로 수학자님이 위에서 말했듯이 '어떤 무리수의 배수'의 소수 부분은 (0,1)에서 "조밀"합니다. "조밀"하다는 건 수학자님이 어떤 두 수 사이에 반드시 다른 수가 존재한다는 것이라고 하셨습니다. 즉, 그 소수 부분 중 두 수가 차이가 매우 작다 하더라도, 그 사이에는 반드시 다른 소수 부분이 존재합니다. 즉, 우리가 빛을 쏜 통로가 아무리 작아도, 그 사이를 통과할 수 있는 "무리수의 배수의 소수 부분"이 존재하기 때문에, 그 빛은 반드시 이 도형 밖을 빠져나가게 됩니다. 꼭 직사각형이 아니라도 성립하게 됩니다.

     

    여기까지입니다. 결국 불가능하다는 생각인데 증명 과정에 오류가 있거나 가능한 경우를 발견하시면 알려주시면 감사하겠습니다.

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    •  
      킬러퀸 Lv.4 2018.05.01 11:36

      백진언 연구원님이 좋은 아이디어라는 의견을 전했어요. 다만, 아이디어를 좀더 엄밀하게 증명할 필요가 있다고 해요!! laugh 

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  •  
    수학장 Lv.1 2018.05.01 23:21

    1. 빛이 순환한다.

    2. 빛이 순환하지 않는다.

    1번의 경우에서는 불가능합니다. 순환 경로 t가 있다고 합시다. 순환 경로 t로 빛 l이 들어가기 위해서는 t에서 거울과 만나는 점으로 빛을 보낸 후에 순환 경로에서와 같은 각도로 튕기게 해야 합니다. 그러면 순환 경로 t에서 부딪히게 되는 각과 똑같이 빛을 쏴야 하는데 그러면 t를 이루는 임의의 직선에서 빛을 쏴야 합니다. 그런데 t에서 그 직선이 쏴질 때는 그 전에 거울에 맞고 반사되는 것이므로 순환 경로와 같이 빛 l을 쏠 수 없습니다.

     

    2번의 경우에서도 불가능합니다. 어떤 임의의 모양의 거울이 있다고 합시다. 그 거울을 이루는 유한개의 직선 중 어떤 직선이 있습니다. 그 직선으로 빛이 반사된 후에, 다시 그 직선에서 같은 각도이지만 다른 점에서 반사된다고 해봅시다. 처음 반사된 점과 새로 반사된 점의 거리와 그 직선의 길이의 비율이 유리수라면, 그 빛 l이 그 직선에 계속 만나다 보면 다시 똑같은 각도로 처음 반사된 점으로 향하게 됩니다. 따라서, 빛 l은 순환합니다. 그런데 빛 l이 순환할 수 없으므로, 다시 처음 반사된 점으로 향하기 전에 거울 밖으로 나가게 됩니다.

    만약 똑같은 각도로 다시 만났는데, 처음 반사된 점과 새로 반사된 점의 거리와 그 직선의 길이의 비율이 무리수라면, 계속 위치가 바뀌게 조금씩 이동하는 경로를 움직입니다. 그런데, 어떤 무리수의 배수의 소수 부분은 조밀합니다. 조밀하다는 것은 그 집합의 어떤 두 수 사이에도 항상 다른 수가 존재한다는 것으로, 아무리 들어온 입구가 작아도 빛 l은 항상 다시 밖으로 나가게 됩니다.

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    •  
      킬러퀸 Lv.4 2018.05.02 13:04

      백진언 연구원님의 의견 전달!

      ①'빛이 순환한다'가 불가능하다는 주장과 증명은 OK!

      ②두 번째 주장은 아래 사항을 참고해 주세요.

      -빛 l이 그 직선에 계속 만나는 이유가 필요합니다. 만약 계속 만난다면 처음 만난 두 개의 점 사이의 거리만큼 계속 떨어져서 만나야 할 이유를 밝혀 주세요!

      -마찬가지로 비율이 무리수인 경우도 보충이 필요한 것 같아요!

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    •  
      수학장 Lv.1 2018.05.03 16:32

      순환하지 않을 때는 같은 직선에 그렇게 부딪혀도 불규칙해져서 다른 접근법이 필요하겠네요

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  •  
    수학장 Lv.1 2018.05.17 00:13

    2번 문제 불가능하다. 순환하지 않을 때의 증명

    거울 중 부딪히고 나서 나가는 면과 각도가 저장된 값이 모인 집합(즉, 거울의 면 중 일정한 점과 각도로 맞았을 때 나가게 되는 점과 각도가 있는데, 그 집합)A_1이라고 하자. 거울 중 부딪히고 나서 A_1으로 가게 되는 점과 각도의 순서쌍의 집합을 A_2라고 하자. 마찬가지로, 부딪히고 나서 A_n으로 가게 되는 점과 각도의 순서쌍의 집합을 A_{n+1}이라고 하자. 만약, 거울 안에 무한히 맴도는 빛이 존재한다면(귀류법), \lim_{i \rightarrow \infty }A_i\neq \varnothing이다.

    그리고 빛은 순환하지 않으므로, A_1, A_2, A_3,....에서 중복되는 값은 존재하지 않는다. \lim_{i \rightarrow \infty }A_i\neq \varnothing이면, 중복되지 않는 값들이 무한히 많이 존재하게 되는데, 그러면 거울의 모든 점과 그에 대한 모든 각도에 대해서 A_1, A_2, A_3,....들 중의 원소 중 하나가 된다. 따라서, 거울의 어떤 점과 각도이든 부딪히면 결국 밖으로 나가게 된다. 그런데, \lim_{i \rightarrow \infty }A_i\neq \varnothing이므로, 빛은 밖으로 나가지 않게 된다. 따라서 모순임을 알 수 있다.

     

    증명 이 정도면 될까요?

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    •  
      킬러퀸 Lv.4 2018.05.19 01:25

      백진언 연구원님께서 확인 중이니 조금만 기다려 주세요 :)

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    •  
      킬러퀸 Lv.4 2018.05.21 15:23

      백진언 연구원님의 한 마디!

      → 수학장 친구가 정의한 '집합의 극한'을 좀더 엄밀하게 정의해 보세요!laugh

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    •  
      수학장 Lv.1 2018.05.21 21:30

      A_n은 n번 튕겨서 거울 밖으로 나가는 것이므로 A_n의 원소는 거울 밖에서 쏴서 n번 튕겨져서 간 거울의 면입니다. 즉, 빛이 안에서 순환하지 않고 맴돌면 n이 무한으로 커져도 공집합이 되면 안 되고 A_1,A_2,....에서 무한히 공통되는 원소는 없고 즉 모든 가능한 원소들을 포함하게 됩니다.

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    •  
      킬러퀸 Lv.4 2018.05.23 14:41

      \lim_{t \to \infty }A_{i}\neq \varnothing의 의미를 자세히 설명해 줄 수 있나요?? 

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    •  
      수학장 Lv.1 2018.05.23 16:20

      만약 빛이 거울 안에서 맴돌 수 있다면, 거울 중 무한히 많이 부딪혀도 거울 밖으로 빠져나가지 않는 점이 적어도 하나는 존재한다는 뜻입니다. A_n의 정의를 거꾸로 하면 거울 밖에서 쏜 빛이 n번 튕겨져서 가게 되는 점의 집합(단, 빛이 거울 안에 있을 때)이기 때문입니다.

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  •  
    으아아아 Lv.1 2018.11.04 00:11

    정8각형 또는 마름모 같은 45도를 가지고 있는 도형으로 하면 돼지 않을까요?

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  •  
    으아아아 Lv.1 2018.11.04 00:12

    ?

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  •  
    아인수타인 Lv.1 2018.11.04 02:03

    2번 답: 가능

    우선 방 모양이 한 변이 1인 정사각형이고, 빛을 한 꼭짓점에서 쐈다고 생각하자. 그러면 거울에 반사된 모양은, 그 정사각형을 좌표평면 위에 쫙~ 대칭시켜 늘어놓은 모양 위에서 y=ax꼴의 함수가 된다.(그러면 정사각형들의 꼭짓점의 좌표는 (정수,정수)가 된다.)

    (i) a가 유리수: 빛이 언젠가는 (0,0) 이외의 (정수,정수)를 지나니 불가능

    (ii) a가 무리수: 빛의 경로는 y=ax꼴인데, a가 무리수이면 시작 위치인 (0,0)을 제외하고는 (정수,정수)의 점을 지나지 않는다. 고로, 빛을 쏜 위치인 (0,0)을 2번 이상 지나지 않으므로, 빛을 쏜 구멍과 빛의 지름이 무한히 작고, 빛을 무리수의 각도로 쏘면 가능하다.

    Q.E.D

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    •  
      아인수타인 Lv.1 2018.11.04 02:03

      이거 확인 부탁드립니다.(오류 있을 확률: 99.99999999999999999999999999999999999999999999%)

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    •  
      수학장 Lv.1 2018.11.04 22:08

      빛이 들어오는 곳은 어떤 '지점'이 아니라 '범위'입니다. 그 범위가 아무리 작아도 그 안에는 무리수가 반드시 존재합니다. 고로 틀렸읍니다.

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    •  
      아인수타인 Lv.1 2018.11.06 01:06

      아 그렇네요...

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  •  
    수학장 Lv.1 2018.11.05 21:54

    재밌는 경우를 발견했는데요 답이 될지는 모르겠지만 이렇게 프랙탈 모양으로 만들면 됩니다. 분명 선분의 길이는 유한하지만 무한히 반복되는 역설에 빠지고 맙니다..ㅋㅋㅋㅋㅋ답으로 인정되나요?

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    •  
      아인수타인 Lv.1 2018.11.06 01:05

      근데 지금 그리신 거 코흐 눈송이 맞죠? 그거 넓이는 유한하지만 둘레는 무한해서 유한개라 볼 수가...(하지만 실마리는 될 것 같습니다.)

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    •  
      수학장 Lv.1 2018.11.06 10:46

      코흐 눈송이와 비슷하지만 다릅니다. 막힌 부분이 필요하거든요.

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    •  
      아인수타인 Lv.1 2018.11.06 22:05

      그렇다 하더라도 맨 왼쪽 위에 무한히 필요하지 않나요? 아님 제가 이해를 잘못한 건가요?

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    •  
      수학장 Lv.1 2018.11.07 21:15

      김우현 기자님이 댓글 달아주시길 바랬다만..... 쩝.. 하여튼 설명을 드리자면, 코흐 눈송이의 둘레는 무한대이지만, 이건 일단 코흐 눈송이가 아닌데다가(코흐 눈송이는 막힌 부분이 없는 데다가 큰 삼각형에서도 계속해서 작은 삼각형이 나오지만 제가 그린 도형은 그렇지 않습니다.) 일정한 비율로 둘레의 길이가 계속 줄어드는 삼각형이 모여있는 겁니다. 즉 둘레의 길이는 유한대입니다. 제가 설명을 잘 못하지만 하여튼 그렇습니다.

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    •  
      킬러퀸 Lv.4 2018.11.08 09:12

      surprisesurprisesurprisesurprisesurprisesurprise

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    •  
      킬러퀸 Lv.4 2018.11.08 09:14

      둘레의 길이가 유한대라는 건, 일정 비율로 둘레의 길이가 줄어든 삼각형이 만들어지다가 어느 순간 멈춘다는 뜻인가요??

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    •  
      수학장 Lv.1 2018.11.08 23:11

      엥? 그건 아니고요 첫번째 기본 상태부터 저렇게 삼각형을 붙이는 시행을 반복할 때, 둘레의 길이가 늘어나기는 하지만, 그 늘어나는 양이 계속 줄어들다 보니까, 무한히 반복해도 둘레의 길이가 무한해지지는 않는 겁니다. 예를 들어 1+1/2+1/4+1/8+.......=2인 것 처럼요. 코흐 눈송이는 모든 방향에서 삼각형이 나오고 큰 삼각형에서도 계속 작은 삼각형이 나오니까 둘레가 무한대가 되지만, 제가 그린 이 도형은 둘레가 무한히 길어지지는 않는 겁니다.(이게 중요한 건 아닌 것 같은데........)

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    •  
      킬러퀸 Lv.4 2018.11.09 09:17

      문제 조건에 있는 선분의 수가 유한개라는 조건이 변의 길이가 수렴하는 것과 다소 차이가 있을 것 같긴 한데요! 연구원님께 정확한 코멘트를 요청 드려보죠!!laugh

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    •  
      킬러퀸 Lv.4 2018.11.09 09:39

      백진언 연구원님 역시 같은 부분을 지적해 주셨어요. 문제에서 가정한 건 유한개 선분이므로 길이보다 선분의 개수에 초점을 맞춰야 할 것 같아요. 더불어 열심히 풀어주고 있어서 고맙다는 메시지를 남겨주셨어요. 조금만 더 화이팅!yes 

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  •  
    여백 패르마 Lv.1 2018.12.08 16:56

    이 문제는 optimal, non-optimal billiard라는 문제로, 직사각형에서 같은 꼭짓점과 2개의 변을 공유하는 직사각형을 뺀 모양이 된다고 알고 있습니다. 

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    •  
      수학장 Lv.1 2018.12.12 23:24

      https://www.quantamagazine.org/new-shapes-solve-infinite-pool-table-problem-20170808/

      이거 같은데요, 이 문제랑은 다르지 않나요? 일단 저건 밀폐되어 있는 공간에서의 반사입니다. non-optimal table에서 순환이 되지 않는다고 해도, 빛이 들어가는 곳은 "점"이 아니라 "구간"이기 때문에 두 점 사이에 거리가 존재할텐데, 그 거리 안에 빛이 다시 오지 않는다는 보장이 없을 것 같아요.

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  •  
    Simon Lv.1 2018.12.12 14:42 비밀댓글
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    •  
      Simon Lv.1 2018.12.12 14:42

      미완성입니다.

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  •  
    아인수타인 Lv.1 2019.01.29 00:32

    -묻힌 문제 살리기 프로젝트-

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  •  
    수학장 Lv.1 2019.03.03 00:09

    이 문제는 제가 마무리할 겁니다...... 건들지 마세요......

    (다양한 의견은 환영)

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  •  
    tommy Lv.1 2019.03.03 01:41

    선분 거울들의 무리 A와 B가 있다고 합시다. 이때 만약 A와 B에 빛을 쏘되 같은 위치에서 같은 방향으로 빛을 쏴 넣으면 항상 되튕겨 나오는 빛의 위치와 방향이 동일하다면, A와 B를 완전히 동등한 거울로 보고 어떤 거울 무리가 A를 포함한다면 그걸 B로 치환해 생각하는 식으로 접근할 수도 있지 않을까요?

    (실은 A가 두 선분을 붙여놓은 형태의 거울일 때 그 거울과 정확히 동등하게 행동하는, 단일 선분으로 이루어진 거울이 있으면 좋을 것 같다고 생각했었는데 그건 아닌 것 같아서 말이죠. 흠... 사실 좀 의심스러운 게, 서로 동등하게 행동하는 서로 다른 두 거울 무리가 존재하기는 할까요..?)

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    •  
      수학장 Lv.1 2019.03.03 17:51

      의견 감사합니다! 하지만 항상 같은 위치에서 같은 방향으로 나올 수 있는지도 모르겠는데다가 가능하다고 해도 임의의 그래프에서 그 모양이 나올 확률은 적을 것 같네요...ㅠㅠ

      하지만 tommy님이 그려주신 그림에서 아이디어를 얻어 공간 R을 여러 개의 삼각형으로 나눠서 귀납법으로 푸는 풀이를 생각해냈고 현재 증명하는 중입니다. 시간이 꽤 걸릴 것 같네요... 배경지식이 많지가 않아서...

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    •  
      tommy Lv.1 2019.03.03 18:50

      맞아요ㅋㅋ 저도 완전히 똑같이 빛을 반사시키는 거울들이 있는지부터가 의문이네요ㄷㄷ(이걸 추가문제ㄹ...읍읍)

       

      오오 제 댓글이 도움이 되었다니 기쁘군요!! 증명 기대해 보겠습니다 :)

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  •  
    code Lv.1 2019.06.06 20:03

    2번.

    AC=BC 가 되는 점C를 무한으로 보내고,

    AC, BC를 긋는다.

    이때 삼각형 ACB는 이등변삼각형이다.

    이등변삼각형에서(길이가 다른변과 같지않은변은 위와같이 존재하지않음) 한변을 향해 빛을 쏜다(이때 점에쏘지는 않는다.)

    변에 부딪힌 이후 옆 변에 부딪히는 광선의 입사각은 초기의 상태보다 줄게되는데,

    이는 두 변의 각차이만큼 벌어진다.

    일반적인 경우, 입사각은 작아지다가 90을 넘겨 뒤집혀 원래 경로로 되돌아 오게 된다.

    다시 삼각형 ACB로 돌아와서 보자.

    ACB는 C가 AB와 무한히 멀기 때문에.

    거의 평행한 직선이지만 각차이가 없는것은아니다.

    여기에 점을 맞추지 않고 한변을 향해 빛을 쏘게되면,

    입사각은 점점 줄어들지만 한없이 90에 가까워지기만 할뿐,

    그 값을 넘거나 같아지지 못해 왔던 경로로 되돌아 오지 않는다.

    또한 입사각은 점점 줄기때문에,

    점 c로 가까워지는 것도 점점 늦춰지며,

    어느 곳에 수렴하게 된다.

    다음 도형에 점c를 향해 쏘지않고 바깥에서 한변을 향해 쏘면

    빛은 영원히 공간 R에 머문다.

     

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    •  
      출제자(국) Lv.1 2019.06.07 10:55

      code님, 먼저 문제에 관심을 가져주셔서 감사합니다 smiley

      이등변삼각형을 만든 뒤 꼭지점을 무한으로 보내는 아이디어를 제시해주셨는데요, 극한을 다루는 부분에서 조심해야 할 점이 있는 것 같아 피드백을 보내드려요. 우리가 극한에 대해서 얘기할 때는
      1. 어떤 수열 a_n (예를 들어 a_n = 1/n또는 a_n = 높이가 n인 이등변삼각형)과
      2. 이 수열이 수렴하는 값 a
      를 잘 구분할 필요가 있어요. (이어짐)

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      출제자(국) Lv.1 2019.06.07 11:21

      보통 극한을 설명할 때 '무한히 가까워지는 상태'와 같은 말을 쓰거나 이해할 때 생각하기 때문에, '한없이 가까워지는 어떤 수'나 '한없이 가까워지는 어떤 모양'이 있다고 생각하는 사람들이 많아요. 이를테면 '0.99999....'라는 숫자를 정말 무한한 자릿수를 가지는 소수점의 숫자로 생각하듯이요. 하지만 이런 개념은 잘못하면 혼동을 유발하기가 쉬워요. '0.999...는 1이 아니다'라는 주장이 이러한 '한없이 가까워지는 수'의 개념에서 나오는 오류의 예가 될 거에요. 그래서 극한의 엄밀한 정의에서는 앞서 말씀드린 수열과 수열의 수렴값을 구분해서 극한을 얘기해요. 예를 들어 '0.999...'라는 표기법은 사실 수열 '0.9, 0.99, 0.999, ....'가 가지는 수렴값을 나타내는 거에요. 그러면 '한없이 가까워지는 상태'라는 오개념이 '어느 값으로 가까이 가는 수열'과 '그 수열이 가까워지는 대상이 되는 고정된 값'으로 구분이 돼요 (이어짐)

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      출제자(국) Lv.1 2019.06.07 11:37

      달아주신 풀이에서는 삼각형 ACB를 극한으로 보낼 때 C를 무한으로 보내셨는데, 이는 사실 이등변삼각형의 열을 나타내고, 만약 C를 무한으로 보낸 극한이 있다면 이 모양은 이 열이 수렴하는 하나의 상태에요. 그런데 이등변삼각형의 높이가 높아지는 열에서 꼭지점 C는 어떤 평면의 하나의 점으로 수렴하지 않아요. 그래서 극한을 보내신 수렴 결과(이등변삼각형 ACB)는 존재하지 않아요. 문제에서 요구하는 건 평면 위의 유한한 좌표값들을 가진 고정된 점들을 이은 모양이에요. 그래서 만약 극한을 이용해 예시를 찾는다면, 그 극한을 보내는 수열이 평면 위에 존재하는 점들로 수렴한다는 걸 증명해야 해요. (이어서)

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      출제자(국) Lv.1 2019.06.07 11:41

      극한의 개념이 까다롭기 때문에 더 많은 얘기가 필요할 수도 있을 것 같아요. 혹시 궁금하거나 의견이 있다면 언제든 댓글 달아주세요!

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    약간 수학 Lv.1 2019.06.29 09:17

    문제 푸시는데 이 사이트를 이용하시면 도움될 것 같아요

    빛, 거울 시물레이션 사이트 입니다.

    pc 전용) https://ricktu288.github.io/ray-optics/simulator/

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    아인수타인 Lv.1 2019.06.30 20:46

    위에 약간수학님이 올리신 사이트에서 뭔 짓(?)을 하다 보니 됐네요. 확인 부탁드립니다.

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      퍼즐&Scratch Lv.1 2019.07.01 14:36

      일반 거울이 아니라 특수 거울을 선택하신 듯 합니다. Mirrors 설정에 'Segment', 'Circular Arc', 'Ideal Curved' 이렇게 세 종류가 있는데 모양이 마지막 거와 같습니다. 첫 번째 거울이 평범한 거울입니다. 

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      아인수타인 Lv.1 2019.07.01 20:32

      아, 그렇군요. 제가 저 프로그램을 잘 사용할 줄 몰라서 거울이 여러 종류가 있는지 몰랐네요.

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    code Lv.1 2019.07.17 21:38

    불가능합니다.

    영역 R에서 움직인다는 것은 그 안에서 무한히 움직일것임을 말합니다.

    무한히 움직이기 위해서는 첫째, 일정한 경로를 반복해야 하며 둘째 그렇지않은 경우 경로가 무한히 이어져야 합니다(반복하지않고)

    이 두가지 경우 모두 모순이 발생함을 밝혀 2번에 해당하는 것은 불가능하다는 것을 밝히겠습니다.

    1. 일정한경로를 반복하는경우

    일정한 경로를 반복하는 경우에는 반복의 시작점으로 다시돌아온다는 것입니다.

    따라서 시작점이 R안에 존재해야겠지요.

    어떤 거울에 의해 반사되었을 때, 반사되기 전 그 빛이 올 수 있는 경로는 한가지 입니다.

    다시말해 반복을 시작하게했던 경로와 반복을 다시시작하는 경로는 다르다는 것입니다.

    그러나 입사광선과 반사광선이 1대1 대응을 이루므로 이는 모순입니다.

    2. 경로가 무한히 이어지는 경우

    곡선을 포함한다면 이에 타원이 포함됩니다. 곡선에 대해서 잠깐 생각해 보겠습니다.

    곡선은 점으로 이루어진것으로 선분의 최소단위로 이루어졌다고 볼 수 있습니다.

    즉 선분이 무한개 있는것이죠.

    다시 본론으로 돌아와서 경로가 무한히 이어지는 경우의 특징을 생각합시다.

    경로가 무한히 이어진다는 것은 무한히 다른조건으로 빛이 선분을 때린다는것입니다.

    다른 위치를 때릴 수도 있고, 다른 각도로 때릴 수도 있습니다.

    다른 위치를 친다고 하면, 무한개의 선분을 만들 수 없기에 특정한 선분들에서 무한히 튕겨야 합니다.

    어디선가 빛이 튕겨 특정선분에 도달하였다고 할게요. 빛은 그 선분의 무한개의 점을 쳐야합니다.

    그렇기에 이 특정선분에 다시 도달하여야 합니다. '그러나 다시 특정선분으로 도달하게 해주는 것이 이토록 무한히 미세하게  이에게 보내려면 미세하게 다른 선분이 필요합니다.'

    예를 들어보겠습니다.

    한선분에 무한번 빛이 도달했던 상태라고 가정합시다.

    튕겨나온 성질이 다른 빛을 그 선분으로 다르게 보내려면 당연히 다른 선분이 필요합니다.

    한 선분으로 양방향에서 이을 경우는 결국은 그선분들을 벗어나기 때문에 불가능합니다.

    즉 이 빛을 보내주는 부분이 무한할 수 밖에 없을 것입니다.

    다른 각도 역시 보내주는 곳이 무한한 선분을 가져야 하기 때문에 위와 같은이유로 모순입니다.

    따라서 2번의 경우 불가능합니다.

     

     

     

     

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