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[창의 퍼즐] 영역의 개수의 최댓값
퍼즐&Scratch 2019.06.30 20:50

* 이번 문제는 '교점의 개수의 최댓값'의 문제의 후속작입니다. 그 문제를 안 보고 오신 분께서는 아래의 링크를 눌러 꼭! 보고 와 주세요. 

'교점의 개수의 최댓값' 문제 바로가기

 

지난 문제에서는 교점의 개수의 최댓값의 함수를 f(n)이라고 정의하고, 그 성질에 대한 여러가지 문제를 살펴보았다. 이번에는 영역의 개수의 최댓값의 함수를 g(n)이라고 정의하자. 예를 들어, n이 1, 2, 3일 때는 아무리 선을 그어도 영역을 만들어 낼 수 없으므로, g(1), g(2), g(3)은 모두 0이다. 그리고 n이 4일 때는 24가지의 경우를 모두 해 보면 영역이 2개일 때가 최대라는 것을 확인할 수 있어 g(4)는 2다.  

g(n)의 성질로는 어떤 것이 있을까?

-하한

 g(n)\geq\left [ {(\frac{n}{2}-1)^2} \right ]임을 증명하거나 반례를 찾아라. (단, 여기서 \left [ x \right ]x보다 크지 않은 최대의 정수로 정의한다. )

-상한

g(n)\leq \binom{n-1}{2}임을 증명하거나 반례를 찾아라. 

-함숫값 사이의 관계

g(n) \leq g(n+1) \leq g(n) + n-1임을 증명하거나 반례를 찾아라. 

-f(n)과 g(n)의 관계

n\geq 4일 때, g(n)\leq 2f(n)-5임을 증명하거나 반례를 찾아라. 

-선 연결 쌍의 관계

점이 n개 있을 때, f(n)개의 교점을 가지는 선 연결 쌍의 집합과 g(n)개의 영역을 가지는 선 연결 쌍의 집합에는 공통된 원소가 언제나 적어도 하나 존재할까? 또는 이 두 집합이 완전히 일치할까?

(여기서 선 연결 쌍이라는 것은 선을 일대일 대응으로 연결한 경우를 말한다. 즉 자연수 n에 대해 n!가지의 선 연결 쌍이 있다.)

-열린문제

상한, 하한을 어디까지 근접시킬 수 있을까? 함수 사이의 관계를 발전시킬 수 있을까?

-추가문제

\lim_{n    o \infty }\frac{g(n)}{f(n-1)}의 값은? (f(n-1)과 g(n)의 범위가 비슷하다는 것에서 착안한 문제다.)

(단, 아래 그림과 같은 경우는, 큰 삼각형까지 세어서 영역 3개가 아니라, 겹치지 않는 영역 2개이다.)

 

* 이번 문제의 답도 공댓으로 달아주세요.

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  • 폴리매스 문제는 2019년도 정부의 재원으로 한국과학창의재단의 지원을 받아 수행된 성과물입니다.

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